Kalkulus Contoh

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 5$ dan $y = \frac{1}{6}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{1}{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.4.2

Kalikan ${(x - 1)}^{- 2}$ dengan $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.4.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.4.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.4.6.2

Kalikan ${(x - 1)}^{- 2}$ dengan $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.4.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

Langkah 1.4.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.8.1

Kalikan $\frac{1}{x - 1}$ dengan $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

Langkah 1.4.8.2

Tambahkan ${(x - 1)}^{- 2}$ dan $0$ .

${(x - 1)}^{- 2}$

Langkah 1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.6

Evaluasi turunan pada $x = - 5$ .

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

Langkah 1.7

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Kurangi $1$ dengan $- 5$ .

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

Langkah 1.7.2

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{36}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{36}$ dan titik yang diberikan $(- 5, \frac{1}{6})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{36}$ dan $x$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

Langkah 2.3.1.5

Gabungkan $\frac{1}{36}$ dan $5$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $\frac{1}{6}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{6}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Langkah 2.3.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $36$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{6}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

Langkah 2.3.2.3.2

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

Langkah 2.3.2.5

Tambahkan $5$ dan $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

Langkah 3