Kalkulus Contoh

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = \frac{π}{2}$ dan $y = \frac{π}{2}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali $x^{\sin (x)}$ sebagai $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Langkah 1.1.2

Perluas $\ln (x^{\sin (x)})$ dengan memindahkan $\sin (x)$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 1.4

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 1.5

Gabungkan $\sin (x)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 1.6

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Langkah 1.7.2

Gabungkan $e^{\sin (x) \ln (x)}$ dan $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Langkah 1.7.3

Susun kembali suku-suku.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Langkah 1.8

Evaluasi turunan pada $x = \frac{π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Langkah 1.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Langkah 1.9.1.2

Sederhanakan $1 \ln (\frac{π}{2})$ dengan memindahkan $1$ ke dalam logaritma.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Langkah 1.9.1.3

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Langkah 1.9.1.4

Sederhanakan.

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Langkah 1.9.1.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Langkah 1.9.1.6

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $0$ .

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Langkah 1.9.1.7

Kalikan $0$ dengan $\ln (\frac{π}{2})$ .

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Langkah 1.9.1.8

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Langkah 1.9.1.9

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Langkah 1.9.1.10

Sederhanakan $1 \ln (\frac{π}{2})$ dengan memindahkan $1$ ke dalam logaritma.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Langkah 1.9.1.11

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Langkah 1.9.1.12

Sederhanakan.

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Langkah 1.9.1.13

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

Langkah 1.9.1.14

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Langkah 1.9.1.15

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1.15.1

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Langkah 1.9.1.15.2

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Langkah 1.9.1.16

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1.16.1

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Langkah 1.9.1.16.2

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + 1$

Langkah 1.9.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $1$ dan titik yang diberikan $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $x - \frac{π}{2}$ dengan $1$ .

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $\frac{π}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Tambahkan $- \frac{π}{2}$ dan $\frac{π}{2}$ .

$y = x + 0$

Langkah 2.3.2.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y = x$

Langkah 3