Kalkulus Contoh

$8 x^{2} + 2 y^{2} = 16$ , $(1, 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (8 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x^{2} + 2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$16 x + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$16 x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$16 x + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$16 x + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$16 x + 2 (2 y y')$

Langkah 1.2.3.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$16 x + 4 y y'$

Langkah 1.2.4

Susun kembali suku-suku.

$4 y y' + 16 x$

Langkah 1.3

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$4 y y' + 16 x = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $16 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 y y' = - 16 x$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $4 y y' = - 16 x$ dengan $4 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $4 y y' = - 16 x$ dengan $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 16 x}{4 y}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 16$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $- 16 x$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 y}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 y$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 (y)}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 y}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

Langkah 1.5.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 1$ dan $y = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{4 (1)}{y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{4 (1)}{2}$

Langkah 1.7.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Faktorkan $2$ dari $4 (1)$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{2}$

Langkah 1.7.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{2 (1)}$

Langkah 1.7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2 \cdot 1}{1}$

Langkah 1.7.3.2.4

Bagilah $2 \cdot 1$ dengan $1$ .

$- (2 \cdot 1)$

Langkah 1.7.4

Kalikan $- (2 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Langkah 1.7.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 2$ dan titik yang diberikan $(1, 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 2 \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 2 = - 2 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 2 \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 2 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 2 = - 2 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = - 2 x - 2 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y - 2 = - 2 x + 2$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 2 x + 2 + 2$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$y = - 2 x + 4$

Langkah 3