Kalkulus Contoh

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = 4$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y^{2}$ dan $g (x) = e^{2 x}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.6

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.10

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 y$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

Langkah 1.2.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Susun kembali suku-suku.

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

Langkah 1.2.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

Langkah 1.3

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

Langkah 1.5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Kurangkan $2 y^{2} e^{2 x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

Langkah 1.5.2.2

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y' e^{2 x}$ .

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $2 y'$ dari $- 4 y'$ .

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ dengan $2 (y e^{2 x} - 2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ dengan $2 (y e^{2 x} - 2)$ .

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Langkah 1.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y e^{2 x} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Langkah 1.5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Langkah 1.5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Langkah 1.5.4.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Langkah 1.5.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Langkah 1.5.4.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Langkah 1.5.4.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

Langkah 1.5.4.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

Langkah 1.5.4.3.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

Langkah 1.5.4.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

Langkah 1.5.4.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Langkah 1.5.4.3.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.2.5.1

Tulis kembali $- (y^{2} e^{2 x} - x)$ sebagai $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Langkah 1.5.4.3.2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 0$ dan $y = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Tulis kembali $4^{2} e^{2 (0)}$ sebagai ${(4 e^{0})}^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.3.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.3.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 4 e^{0}$ dan $b = 0$ .

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.4.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.3.4.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.3.4.3

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.3.4.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.3.4.5

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.3.4.6

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

Langkah 1.7.4.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

Langkah 1.7.4.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

Langkah 1.7.4.4

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$- \frac{16}{2}$

Langkah 1.7.5.2

Bagilah $16$ dengan $2$ .

$- 1 \cdot 8$

Langkah 1.7.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$- 8$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 8$ dan titik yang diberikan $(0, 4)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y - 4 = - 8 x$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 8 x + 4$

Langkah 3