Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{12 x}{x^{2} - 4}$ ; $(4, 4)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = 4$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{12 x}{x^{2} - 4}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} - 4$ .

$12 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $x^{2} - 4$ dengan $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.3.5

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.8

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$12 \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.9

Gabungkan $12$ dan $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{12 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 12 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.10.2.2

Kalikan $12$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{2} - 48}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.11

Evaluasi turunan pada $x = 4$ .

$\frac{- 12 {(4)}^{2} - 48}{{({(4)}^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 12 \cdot 16 - 48}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $16$ .

$\frac{- 192 - 48}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.3

Kurangi $48$ dengan $- 192$ .

$\frac{- 240}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.12.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 240}{{(16 - 4)}^{2}}$

Langkah 1.12.2.2

Kurangi $4$ dengan $16$ .

$\frac{- 240}{12^{2}}$

Langkah 1.12.2.3

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 240}{144}$

Langkah 1.12.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 240$ dan $144$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.3.1.1

Faktorkan $48$ dari $- 240$ .

$\frac{48 (- 5)}{144}$

Langkah 1.12.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.3.1.2.1

Faktorkan $48$ dari $144$ .

$\frac{48 \cdot - 5}{48 \cdot 3}$

Langkah 1.12.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{48 \cdot - 5}{48 \cdot 3}$

Langkah 1.12.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 5}{3}$

Langkah 1.12.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5}{3}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{5}{3}$ dan titik yang diberikan $(4, 4)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 4 = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 4 = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 4 = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{5}{3}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3})$

Langkah 2.3.1.5.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{5}{3}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3}$

Langkah 2.3.1.5.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 4 = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 4$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 4 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 12}{3}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $20$ dan $12$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{32}{3}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{5}{3} x) + \frac{32}{3}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{32}{3}$

Langkah 3