Kalkulus Contoh

$2 x^{2} + y^{3} = 5 y + 3 x$ , $(2, 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y + 3 x)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} + y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 x + 3 y^{2} y'$

Langkah 1.2.4

Susun kembali suku-suku.

$3 y^{2} y' + 4 x$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 y + 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 y$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 y' + \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y' + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 y' + 3 \cdot 1$

Langkah 1.3.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$5 y' + 3$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 y^{2} y' + 4 x = 5 y' + 3$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $5 y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' + 4 x - 5 y' = 3$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $4 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' - 5 y' = 3 - 4 x$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y' - 5 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 5 y' = 3 - 4 x$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5 = 3 - 4 x$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ dengan $3 y^{2} - 5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ dengan $3 y^{2} - 5$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y^{2} - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} - \frac{4 x}{3 y^{2} - 5}$

Langkah 1.5.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 2$ dan $y = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 y^{2} - 5}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 {(2)}^{2} - 5}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$\frac{3 - 8}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Langkah 1.7.3.2

Kurangi $8$ dengan $3$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 4 - 5}$

Langkah 1.7.4.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{- 5}{12 - 5}$

Langkah 1.7.4.3

Kurangi $5$ dengan $12$ .

$\frac{- 5}{7}$

Langkah 1.7.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5}{7}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{5}{7}$ dan titik yang diberikan $(2, 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{5}{7} \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- \frac{5}{7} \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + 2 (\frac{5}{7})$

Langkah 2.3.1.5.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{2 \cdot 5}{7}$

Langkah 2.3.1.5.3

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{10}{7}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 2 = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 2 \cdot 7}{7}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 14}{7}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $10$ dan $14$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{24}{7}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{5}{7} x) + \frac{24}{7}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{5}{7} x + \frac{24}{7}$

Langkah 3