Kalkulus Contoh

$y = - 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ ; $(1, - 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = - 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.3.10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- x^{- 2})$

Langkah 1.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Langkah 1.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 1.5.3

Susun kembali suku-suku.

$- 9 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$- 9 {(1)}^{2} - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 9 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.7.1.2

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$- 9 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.7.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 9 - \frac{2}{1} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.7.1.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$- 9 - 1 \cdot 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.7.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.7.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.1.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.1

Tulis $- 9$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{- 9}{1} - 2 - \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.2.2

Kalikan $\frac{- 9}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.2.3

Kalikan $\frac{- 9}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.2.4

Tulis $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} - \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.2.5

Kalikan $\frac{- 2}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.2.6

Kalikan $\frac{- 2}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 1.7.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Kalikan $- 9$ dengan $2$ .

$\frac{- 18 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Langkah 1.7.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{- 18 - 4 - 1}{2}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kurangi $4$ dengan $- 18$ .

$\frac{- 22 - 1}{2}$

Langkah 1.7.5.2

Kurangi $1$ dengan $- 22$ .

$\frac{- 23}{2}$

Langkah 1.7.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{23}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{23}{2}$ dan titik yang diberikan $(1, - 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - \frac{23}{2} \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y + 2 = - \frac{23}{2} x - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{23}{2}$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- \frac{23}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + 1 (\frac{23}{2})$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $\frac{23}{2}$ dengan $1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + \frac{23}{2}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan $23$ ke sebelah kiri $x$ .

$y + 2 = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 2 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 4}{2}$

Langkah 2.3.2.5.2

Kurangi $4$ dengan $23$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{19}{2}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{23}{2} x) + \frac{19}{2}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{23}{2} x + \frac{19}{2}$

Langkah 3