Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{20 x}{x^{2} - 5}$ ; $(5, 5)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 5$ dan $y = 5$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{20 x}{x^{2} - 5}$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} - 5$ .

$20 \frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$20 \frac{(x^{2} - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $x^{2} - 5$ dengan $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.3.5

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.8

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$20 \frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.9

Gabungkan $20$ dan $\frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{20 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{20 (- x^{2}) + 20 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$\frac{- 20 x^{2} + 20 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10.2.2

Kalikan $20$ dengan $- 5$ .

$\frac{- 20 x^{2} - 100}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10.3

Faktorkan $20$ dari $- 20 x^{2} - 100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.3.1

Faktorkan $20$ dari $- 20 x^{2}$ .

$\frac{20 (- x^{2}) - 100}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10.3.2

Faktorkan $20$ dari $- 100$ .

$\frac{20 (- x^{2}) + 20 (- 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10.3.3

Faktorkan $20$ dari $20 (- x^{2}) + 20 (- 5)$ .

$\frac{20 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10.5

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 1 (5)$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{20 (- (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10.7

Tulis kembali $- (x^{2} + 5)$ sebagai $- 1 (x^{2} + 5)$ .

$\frac{20 (- 1 (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.10.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{20 (x^{2} + 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.11

Evaluasi turunan pada $x = 5$ .

$- \frac{20 ({(5)}^{2} + 5)}{{({(5)}^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{20 (25 + 5)}{{(5^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.2

Tambahkan $25$ dan $5$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{{(5^{2} - 5)}^{2}}$

Langkah 1.12.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.2.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{{(25 - 5)}^{2}}$

Langkah 1.12.2.2

Kurangi $5$ dengan $25$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{20^{2}}$

Langkah 1.12.2.3

Naikkan $20$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{400}$

Langkah 1.12.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.3.1

Kalikan $20$ dengan $30$ .

$- \frac{600}{400}$

Langkah 1.12.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $600$ dan $400$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.3.2.1

Faktorkan $200$ dari $600$ .

$- \frac{200 (3)}{400}$

Langkah 1.12.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.3.2.2.1

Faktorkan $200$ dari $400$ .

$- \frac{200 \cdot 3}{200 \cdot 2}$

Langkah 1.12.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{200 \cdot 3}{200 \cdot 2}$

Langkah 1.12.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{3}{2}$ dan titik yang diberikan $(5, 5)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (5))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 5 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 5 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 5 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 5$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 5$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- \frac{3}{2} \cdot - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 5 (\frac{3}{2})$

Langkah 2.3.1.5.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{3}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{5 \cdot 3}{2}$

Langkah 2.3.1.5.3

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{15}{2}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 5 = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + 5$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 + 5 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 + 10}{2}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $15$ dan $10$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{25}{2}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{3}{2} x) + \frac{25}{2}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3}{2} x + \frac{25}{2}$

Langkah 3