Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$ at the point where $x = 4$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $4$ ke dalam $x$ .

$y = \sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan $\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$y = \sqrt{25 - 16}$

Langkah 1.2.3

Kurangi $16$ dengan $25$ .

$y = \sqrt{9}$

Langkah 1.2.4

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Langkah 1.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y = 3$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = 3$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{25 - x^{2}}$ sebagai ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 25 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.7.3

Pindahkan ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $25 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 2.9

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 2.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Langkah 2.13

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Langkah 2.13.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 2.13.3

Gabungkan $\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13.4

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.14.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.16

Evaluasi turunan pada $x = 4$ .

$- \frac{4}{{(25 - {(4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.17

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{4}{{(25 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.17.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$- \frac{4}{{(25 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.17.2

Kurangi $16$ dengan $25$ .

$- \frac{4}{9^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.17.3

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$- \frac{4}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.17.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 2.17.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 2.17.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{4}{3^{1}}$

Langkah 2.17.6

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{4}{3}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $- \frac{4}{3}$ dan titik yang diberikan $(4, 3)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (4))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $- \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $- \frac{4}{3} \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 (\frac{4}{3})$

Langkah 3.3.1.5.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3}$

Langkah 3.3.1.5.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{16}{3}$

Langkah 3.3.1.6

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3$

Langkah 3.3.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 3 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 9}{3}$

Langkah 3.3.2.5.2

Tambahkan $16$ dan $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{25}{3}$

Langkah 3.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{25}{3}$

Langkah 3.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

Langkah 4