Kalkulus Contoh

$16 x^{3} + y^{3} = 3$ , $(2, - 5)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = - 5$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (16 x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 x^{3} + y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$48 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$48 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$48 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Langkah 1.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$48 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $48 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$ dengan $3 y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$ dengan $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 48$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 48 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 (y^{2})}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 16 x^{2}}{y^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{16 x^{2}}{y^{2}}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x^{2}}{y^{2}}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 2$ dan $y = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{16 {(2)}^{2}}{y^{2}}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{16 {(2)}^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Tulis kembali $16$ sebagai $2^{4}$ .

$- \frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

Langkah 1.7.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{2^{4 + 2}}{{(- 5)}^{2}}$

Langkah 1.7.3.3

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$- \frac{2^{6}}{{(- 5)}^{2}}$

Langkah 1.7.4

Evaluasi eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{2^{6}}{25}$

Langkah 1.7.4.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $6$ .

$- \frac{64}{25}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{64}{25}$ dan titik yang diberikan $(2, - 5)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = - \frac{64}{25} \cdot (x - (2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 5 = - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y + 5 = 0 + 0 - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y + 5 = - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y + 5 = - \frac{64}{25} x - \frac{64}{25} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{64}{25}$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} - \frac{64}{25} \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- \frac{64}{25} \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + 2 (\frac{64}{25})$

Langkah 2.3.1.5.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{64}{25}$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + \frac{2 \cdot 64}{25}$

Langkah 2.3.1.5.3

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + \frac{128}{25}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan $64$ ke sebelah kiri $x$ .

$y + 5 = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} - 5$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $- 5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} - 5 \cdot \frac{25}{25}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} + \frac{- 5 \cdot 25}{25}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128 - 5 \cdot 25}{25}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $- 5$ dengan $25$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128 - 125}{25}$

Langkah 2.3.2.5.2

Kurangi $125$ dengan $128$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{3}{25}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{64}{25} x) + \frac{3}{25}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{64}{25} x + \frac{3}{25}$

Langkah 3