Kalkulus Contoh

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ at the point $(4, - \frac{43}{4})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = - \frac{43}{4}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.9

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.11

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.2.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.3.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + 0$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$ dan $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.4.3

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.5

Evaluasi turunan pada $x = 4$ .

$- \frac{1}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.6.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.6.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

Langkah 1.6.1.2.4

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

Langkah 1.6.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

Langkah 1.6.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot 1$

Langkah 1.6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{16} - 1$

Langkah 1.6.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

Langkah 1.6.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Langkah 1.6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 16}{16}$

Langkah 1.6.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$\frac{- 1 - 16}{16}$

Langkah 1.6.5.2

Kurangi $16$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 17}{16}$

Langkah 1.6.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{17}{16}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{17}{16}$ dan titik yang diberikan $(4, - \frac{43}{4})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{43}{4}) = - \frac{17}{16} \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y + \frac{43}{4} = 0 + 0 - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} x - \frac{17}{16} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{17}{16}$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} - \frac{17}{16} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{17}{16}$ ke dalam pembilangnya.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{16} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.3.2

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 (4)} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.3.3

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.2.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.2.4

Gabungkan $\frac{- 17}{4}$ dan $- 1$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17 \cdot - 1}{4}$

Langkah 2.3.1.2.5

Kalikan $- 17$ dengan $- 1$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{17}{4}$

Langkah 2.3.1.3

Pindahkan $17$ ke sebelah kiri $x$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $\frac{43}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4} - \frac{43}{4}$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{17 - 43}{4}$

Langkah 2.3.2.3

Kurangi $43$ dengan $17$ .

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

Langkah 2.3.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

Langkah 2.3.2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 26$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 26$ .

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 (- 13)}{4}$

Langkah 2.3.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.4.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.3.2.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

Langkah 2.3.2.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 13}{2}$

Langkah 2.3.2.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{17 x}{16} - \frac{13}{2}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{17}{16} x) - \frac{13}{2}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{17}{16} x - \frac{13}{2}$

Langkah 3