Kalkulus Contoh

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.7.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Langkah 1.9

Kalikan $e^{- x^{2}}$ dengan $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Langkah 1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Susun kembali suku-suku.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Langkah 1.10.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Langkah 1.11

Evaluasi turunan pada $x = 0$ .

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 1.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.6

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 1.12.1.7

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 + e^{- 0}$

Langkah 1.12.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0 + e^{0}$

Langkah 1.12.1.9

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 + 1$

Langkah 1.12.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $1$ dan titik yang diberikan $(0, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $1 \cdot (x + 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $x + 0$ dengan $1$ .

$y = x + 0$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y = x$

Langkah 3