Kalkulus Contoh

$y = x^{3} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = \frac{1}{e}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.3.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

Langkah 1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Langkah 1.5

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$- {(1)}^{3} e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Langkah 1.6.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Langkah 1.6.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 e^{- 1} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Langkah 1.6.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Langkah 1.6.1.5

Tulis kembali $- 1 \frac{1}{e}$ sebagai $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Langkah 1.6.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{e} + 3 \cdot 1 e^{- (1)}$

Langkah 1.6.1.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Langkah 1.6.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- 1}$

Langkah 1.6.1.9

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 \frac{1}{e}$

Langkah 1.6.1.10

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{3}{e}$

Langkah 1.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 + 3}{e}$

Langkah 1.6.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$\frac{2}{e}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{2}{e}$ dan titik yang diberikan $(1, \frac{1}{e})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - \frac{1}{e} = \frac{2}{e} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kurangkan $\frac{2}{e} \cdot (x - 1)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \cdot (x - 1) = 0$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} x - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{e}$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Langkah 2.3.1.2.3

Kalikan $- \frac{2}{e} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + 1 \frac{2}{e} = 0$

Langkah 2.3.1.2.3.2

Kalikan $\frac{2}{e}$ dengan $1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Langkah 2.3.1.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{2 x}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Langkah 2.3.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y + \frac{- 1 - 2 x + 2}{e} = 0$

Langkah 2.3.1.4

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$y + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Langkah 2.3.1.5

Untuk menuliskan $y$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e}{e}$ .

$\frac{y e}{e} + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y e - 2 x + 1}{e} = 0$

Langkah 2.3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$y e - 2 x + 1 = 0$

Langkah 2.3.3

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$y e + 1 = 2 x$

Langkah 2.3.3.1.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y e = 2 x - 1$

Langkah 2.3.3.2

Bagi setiap suku pada $y e = 2 x - 1$ dengan $e$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $y e = 2 x - 1$ dengan $e$ .

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Langkah 2.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Langkah 2.3.3.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Langkah 2.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{2 x}{e} - \frac{1}{e}$

Langkah 2.3.4

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{2}{e} x - \frac{1}{e}$

Langkah 3