Kalkulus Contoh

$x^{2} = y^{3}$ ; $(64, 16)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 64$ dan $y = 16$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x = 3 y^{2} y'$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 y^{2} y' = 2 x$ .

$3 y^{2} y' = 2 x$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $3 y^{2} y' = 2 x$ dengan $3 y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $3 y^{2} y' = 2 x$ dengan $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 64$ dan $y = 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $64$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2 (64)}{3 y^{2}}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $16$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2 (64)}{3 {(16)}^{2}}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$\frac{128}{3 \cdot 16^{2}}$

Langkah 1.7.3.2

Naikkan $16$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{128}{3 \cdot 256}$

Langkah 1.7.3.3

Kalikan $3$ dengan $256$ .

$\frac{128}{768}$

Langkah 1.7.4

Hapus faktor persekutuan dari $128$ dan $768$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Faktorkan $128$ dari $128$ .

$\frac{128 (1)}{768}$

Langkah 1.7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.1

Faktorkan $128$ dari $768$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

Langkah 1.7.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

Langkah 1.7.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{6}$ dan titik yang diberikan $(64, 16)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = \frac{1}{6} \cdot (x - (64))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{6} \cdot (x - 64)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 16 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 16 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $x$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 64$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 32$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

Langkah 2.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 16 = \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $16$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $16$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $16$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 16 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 48}{3}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 32$ dan $48$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{16}{3}$

Langkah 3