Kalkulus Contoh

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ , $(4, 9)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = 9$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali sisi kirinya dengan eksponen rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 5$

Langkah 1.1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 5$

Langkah 1.2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5)$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Langkah 1.3.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Langkah 1.3.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Langkah 1.3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Langkah 1.3.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Langkah 1.3.3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Langkah 1.3.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Langkah 1.3.3.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Langkah 1.3.3.9

Gabungkan $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Langkah 1.3.3.10

Pindahkan $y^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.3.4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 1.6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kurangkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.2

Kalikan kedua ruas dengan $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.1

Sederhanakan $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.6.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.6.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.6.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1

Sederhanakan $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ ke dalam pembilangnya.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.6.3.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.6.3.2.1.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 1.6.3.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.6.3.2.1.1.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.6.3.2.1.2

Gabungkan $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dan $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.3.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8

Evaluasi pada $x = 4$ dan $y = 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.2

Ganti variabel $y$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{{(9)}^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$- \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3.4

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{3}{4^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- \frac{3}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.8.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.8.4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3}{2^{1}}$

Langkah 1.8.4.4

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{3}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{3}{2}$ dan titik yang diberikan $(4, 9)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 9 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 9 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 9 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{2}$ .

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

Langkah 2.3.1.2.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Langkah 2.3.1.2.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

Langkah 2.3.1.2.4

Kalikan $- 3$ dengan $- 2$ .

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

Langkah 2.3.1.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 9 = - \frac{3 x}{2} + 6$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{3 x}{2} + 6 + 9$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $6$ dan $9$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 15$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 15$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3}{2} x + 15$

Langkah 3