Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{2}$ ; $x = 1$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $1$ ke dalam $x$ .

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Langkah 1.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = 1 {(3 - (1))}^{2}$

Langkah 1.2.3.2

Kalikan ${(3 - (1))}^{2}$ dengan $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{2}$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{2}$

Langkah 1.2.3.4

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$y = 2^{2}$

Langkah 1.2.3.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = 4$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 4$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(3 - x)}^{2}$ sebagai $(3 - x) (3 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((3 - x) (3 - x))]$

Langkah 2.2

Perluas $(3 - x) (3 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 (3 - x) - x (3 - x))]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))]$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - x (- x))]$

Langkah 2.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})]$

Langkah 2.3.1.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + x^{2})]$

Langkah 2.3.2

Kurangi $3 x$ dengan $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 6 x + x^{2})]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = 9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [9 - 6 x + x^{2}] + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 - 6 x + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.5.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.5.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.5.4

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.5.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{4} (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.5.6

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$x^{4} (- 6 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.5.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.5.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) (4 x^{3})$

Langkah 2.5.9

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + 4 \cdot (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Langkah 2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + (4 \cdot 9 + 4 (- 6 x) + 4 x^{2}) x^{3}$

Langkah 2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Pindahkan $- 6$ ke sebelah kiri $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.2

Kalikan $x^{4}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.2.1

Pindahkan $x$ .

$- 6 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 6 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 6 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.2.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$- 6 x^{4} + x^{5} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{5}$ .

$- 6 x^{4} + 2 \cdot x^{5} + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.4

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.5

Kalikan $- 6$ dengan $4$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x \cdot x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.6

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.6.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x) + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.6.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{3 + 1} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.6.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{2} x^{3}$

Langkah 2.6.4.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.7.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2})$

Langkah 2.6.4.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2}$

Langkah 2.6.4.7.3

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{5}$

Langkah 2.6.4.8

Kurangi $24 x^{4}$ dengan $- 6 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 x^{5}$

Langkah 2.6.4.9

Tambahkan $2 x^{5}$ dan $4 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} + 6 x^{5} + 36 x^{3}$

Langkah 2.6.5

Susun kembali suku-suku.

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$

Langkah 2.7

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Langkah 2.8.1.2

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Langkah 2.8.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$6 - 30 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3}$

Langkah 2.8.1.4

Kalikan $- 30$ dengan $1$ .

$6 - 30 + 36 {(1)}^{3}$

Langkah 2.8.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$6 - 30 + 36 \cdot 1$

Langkah 2.8.1.6

Kalikan $36$ dengan $1$ .

$6 - 30 + 36$

Langkah 2.8.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Kurangi $30$ dengan $6$ .

$- 24 + 36$

Langkah 2.8.2.2

Tambahkan $- 24$ dan $36$ .

$12$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $12$ dan titik yang diberikan $(1, 4)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 12 \cdot (x - (1))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $12 \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 4 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 4 = 12 x + 12 \cdot - 1$

Langkah 3.3.1.4

Kalikan $12$ dengan $- 1$ .

$y - 4 = 12 x - 12$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 12 x - 12 + 4$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $- 12$ dan $4$ .

$y = 12 x - 8$

Langkah 4