Kalkulus Contoh

$f (x) = - 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ at $x = - \frac{π}{4}$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $- \frac{π}{4}$ ke dalam $x$ .

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan $- 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$y = - 5 \cot (\frac{7 π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Langkah 1.2.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kotangen negatif di kuadran keempat.

$y = - 5 (- \cot (\frac{π}{4})) - \frac{5 π}{2} - 4$

Langkah 1.2.2.1.3

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$y = - 5 (- 1 \cdot 1) - \frac{5 π}{2} - 4$

Langkah 1.2.2.1.4

Kalikan $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = - 5 \cdot - 1 - \frac{5 π}{2} - 4$

Langkah 1.2.2.1.4.2

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$y = 5 - \frac{5 π}{2} - 4$

Langkah 1.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$y = 1 - \frac{5 π}{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - \frac{π}{4}$ dan $y = 1 - \frac{5 π}{2}$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 \cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$- 5 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$5 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- \frac{5 π}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{5 π}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 2.3.2

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + 0$

Langkah 2.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tambahkan $5 \csc^{2} (x)$ dan $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $5 \csc^{2} (x)$ dan $0$ .

$5 \csc^{2} (x)$

Langkah 2.5

Evaluasi turunan pada $x = - \frac{π}{4}$ .

$5 \csc^{2} (- \frac{π}{4})$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$5 \csc^{2} (\frac{7 π}{4})$

Langkah 2.6.2

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$5 {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Langkah 2.6.3

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{4})$ adalah $\sqrt{2}$ .

$5 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 2.6.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{2}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Langkah 2.6.4.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$5 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Langkah 2.6.4.3

Kalikan ${\sqrt{2}}^{2}$ dengan $1$ .

$5 {\sqrt{2}}^{2}$

Langkah 2.6.5

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 2.6.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 2.6.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.6.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.6.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \cdot 2^{1}$

Langkah 2.6.5.5

Evaluasi eksponennya.

$5 \cdot 2$

Langkah 2.6.6

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$10$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $10$ dan titik yang diberikan $(- \frac{π}{4}, 1 - \frac{5 π}{2})$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1 - \frac{5 π}{2}) = 10 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $10 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 0 + 0 + 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 10 \frac{π}{4}$

Langkah 3.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 (5) \frac{π}{4}$

Langkah 3.3.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 5 \frac{π}{2}$

Langkah 3.3.1.5

Gabungkan $5$ dan $\frac{π}{2}$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1$

Langkah 3.3.2.2

Kurangkan $\frac{5 π}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = 10 x + \frac{5 π - 5 π}{2} + 1$

Langkah 3.3.2.3.2

Kurangi $5 π$ dengan $5 π$ .

$y = 10 x + \frac{0}{2} + 1$

Langkah 3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$y = 10 x + 0 + 1$

Langkah 3.3.2.5

Tambahkan $10 x$ dan $0$ .

$y = 10 x + 1$

Langkah 4