Kalkulus Contoh

$f (x) = {({(x - 1)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 2$

Langkah 1

Temukan nilai $y$ yang sesuai pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $2$ ke dalam $x$ .

$y = {({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

Langkah 1.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = {({(2 - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

Langkah 1.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = {({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan ${({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$y = {(1^{2} - (2))}^{2}$

Langkah 1.2.3.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = {(1 - (2))}^{2}$

Langkah 1.2.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = {(1 - 2)}^{2}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$y = {(- 1)}^{2}$

Langkah 1.2.3.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$y = 1$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 2$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(x - 1)}^{2} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(x - 1)}^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(x - 1)}^{2} - x$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${(x - 1)}^{2} - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x - 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.4.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.4.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.4.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - 1 \cdot 1)$

Langkah 2.4.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - 1)$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$(2 {(x - 1)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 1) - 1)$

Langkah 2.5.2

Terapkan sifat distributif.

$(2 {(x - 1)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 1 - 1)$

Langkah 2.5.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 1 - 1)$

Langkah 2.5.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x - 2 - 1)$

Langkah 2.5.3.3

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$(2 ((x - 1) (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.2

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$(2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$(2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$(2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$(2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(2 (x^{2} - x - x + 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$(2 (x^{2} - 2 x + 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.4

Terapkan sifat distributif.

$(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.4.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.5

Kurangi $2 x$ dengan $- 4 x$ .

$(2 x^{2} - 6 x + 2) (2 x - 3)$

Langkah 2.5.6

Perluas $(2 x^{2} - 6 x + 2) (2 x - 3)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.7.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.7.2.1

Pindahkan $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.7.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.4

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.7.6.1

Pindahkan $x$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 x^{2} - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.7

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.8

Kalikan $- 3$ dengan $- 6$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.9

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 4 x + 2 \cdot - 3$

Langkah 2.5.7.10

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 4 x - 6$

Langkah 2.5.8

Kurangi $12 x^{2}$ dengan $- 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 18 x + 4 x - 6$

Langkah 2.5.9

Tambahkan $18 x$ dan $4 x$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 22 x - 6$

Langkah 2.6

Evaluasi turunan pada $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

Langkah 2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \cdot 8 - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

Langkah 2.7.1.2

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$32 - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

Langkah 2.7.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$32 - 18 \cdot 4 + 22 (2) - 6$

Langkah 2.7.1.4

Kalikan $- 18$ dengan $4$ .

$32 - 72 + 22 (2) - 6$

Langkah 2.7.1.5

Kalikan $22$ dengan $2$ .

$32 - 72 + 44 - 6$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Kurangi $72$ dengan $32$ .

$- 40 + 44 - 6$

Langkah 2.7.2.2

Tambahkan $- 40$ dan $44$ .

$4 - 6$

Langkah 2.7.2.3

Kurangi $6$ dengan $4$ .

$- 2$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $- 2$ dan titik yang diberikan $(2, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (2))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $- 2 \cdot (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 2$

Langkah 3.3.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$y - 1 = - 2 x + 4$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 2 x + 4 + 1$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$y = - 2 x + 5$

Langkah 4