Kalkulus Contoh

$y = {(e^{2 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = 9$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = e^{2 x} - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $e^{2 x} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $e^{2 x} - 4$ .

$2 (e^{2 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{2 x} - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.4.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.4.4

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x} + 0)$

Langkah 1.4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.1

Tambahkan $2 e^{2 x}$ dan $0$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x})$

Langkah 1.4.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 (e^{2 x} - 4) e^{2 x}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 4) e^{2 x}$

Langkah 1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Langkah 1.5.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1

Pindahkan $e^{2 x}$ .

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Langkah 1.5.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Langkah 1.5.3.1.3

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Langkah 1.5.3.2

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$4 e^{4 x} - 16 e^{2 x}$

Langkah 1.6

Evaluasi turunan pada $x = 0$ .

$4 e^{4 (0)} - 16 e^{2 (0)}$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$4 e^{0} - 16 e^{2 (0)}$

Langkah 1.7.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$4 \cdot 1 - 16 e^{2 (0)}$

Langkah 1.7.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 - 16 e^{2 (0)}$

Langkah 1.7.1.4

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$4 - 16 e^{0}$

Langkah 1.7.1.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$4 - 16 \cdot 1$

Langkah 1.7.1.6

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$4 - 16$

Langkah 1.7.2

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$- 12$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 12$ dan titik yang diberikan $(0, 9)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - 12 \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 9 = - 12 \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y - 9 = - 12 x$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 12 x + 9$

Langkah 3