Kalkulus Contoh

$x^{2} y^{8} = 9$ , $(3, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 3$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{8}) = \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{8}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{8}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 8$ .

$x^{2} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x^{2} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} y^{7} \frac{d}{d x} [y] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} (2 x)$

Langkah 1.2.6

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{8}$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + 2 \cdot y^{8} x$

Langkah 1.2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x$

Langkah 1.3

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $2 y^{8} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ dengan $8 y^{7} x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ dengan $8 y^{7} x^{2}$ .

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Langkah 1.5.2.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{8} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{8 y^{7} x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $8 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y^{8} x}{4 y^{7} x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{8}$ dan $y^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.2.1

Faktorkan $y^{7}$ dari $- y^{8} x$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{4 y^{7} x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.2.2.1

Faktorkan $y^{7}$ dari $4 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Langkah 1.5.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Langkah 1.5.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y x}{4 x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{4 x^{2}}$

Langkah 1.5.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Langkah 1.5.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Langkah 1.5.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y}{4 x}$

Langkah 1.5.2.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y}{4 x}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 x}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 3$ dan $y = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{y}{4 (3)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{1}{4 (3)}$

Langkah 1.7.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$- \frac{1}{12}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{1}{12}$ dan titik yang diberikan $(3, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = - \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{12}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{12}$ ke dalam pembilangnya.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{12} \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 (4)} \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.5.3

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{- 1}{4}$ dan $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- - 1}{4}$

Langkah 2.3.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + 1$

Langkah 2.3.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1 + 4}{4}$

Langkah 2.3.2.4

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$y = - \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{1}{12} x) + \frac{5}{4}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{1}{12} x + \frac{5}{4}$

Langkah 3