Kalkulus Contoh

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 7)}^{2}$ ; $(3, - 8)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 3$ dan $y = - 8$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 1 - x$ dan $g (x) = {(x^{2} - 7)}^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 7)}^{2}] + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 7$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 7$ .

$(1 - x) (2 (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $1 - x$ .

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Langkah 1.3.4

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 7) (2 x + 0) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 7) (2 x) + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Langkah 1.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Langkah 1.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.3.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.3.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.3.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x + {(x^{2} - 7)}^{2} \cdot - 1$

Langkah 1.3.11.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri ${(x^{2} - 7)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x - 1 \cdot {(x^{2} - 7)}^{2}$

Langkah 1.3.11.3

Tulis kembali $- 1 {(x^{2} - 7)}^{2}$ sebagai $- {(x^{2} - 7)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 7) x - {(x^{2} - 7)}^{2}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 7) x - {(x^{2} - 7)}^{2}$

Langkah 1.4.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 7) x - {(x^{2} - 7)}^{2}$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$(4 - 4 x) (x^{2} - 7) x - {(x^{2} - 7)}^{2}$

Langkah 1.4.4

Faktorkan $x^{2} - 7$ dari $(4 - 4 x) (x^{2} - 7) x - {(x^{2} - 7)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Faktorkan $x^{2} - 7$ dari $(4 - 4 x) (x^{2} - 7) x$ .

$(x^{2} - 7) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 7)}^{2}$

Langkah 1.4.4.2

Faktorkan $x^{2} - 7$ dari $- {(x^{2} - 7)}^{2}$ .

$(x^{2} - 7) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 7) (- (x^{2} - 7))$

Langkah 1.4.4.3

Faktorkan $x^{2} - 7$ dari $(x^{2} - 7) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 7) (- (x^{2} - 7))$ .

$(x^{2} - 7) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 7))$

Langkah 1.4.5

Susun kembali faktor-faktor dari $(x^{2} - 7) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 7))$ .

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 7)) (x^{2} - 7)$

Langkah 1.4.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.1

Terapkan sifat distributif.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 7)) (x^{2} - 7)$

Langkah 1.4.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.2.1

Pindahkan $x$ .

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 7)) (x^{2} - 7)$

Langkah 1.4.6.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 7)) (x^{2} - 7)$

Langkah 1.4.6.3

Terapkan sifat distributif.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 7) (x^{2} - 7)$

Langkah 1.4.6.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 7$ .

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 7) (x^{2} - 7)$

Langkah 1.4.7

Kurangi $x^{2}$ dengan $- 4 x^{2}$ .

$(4 x - 5 x^{2} + 7) (x^{2} - 7)$

Langkah 1.4.8

Perluas $(4 x - 5 x^{2} + 7) (x^{2} - 7)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 7 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

Langkah 1.4.9

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.9.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.9.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 7 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

Langkah 1.4.9.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.9.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 7 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

Langkah 1.4.9.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 7 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

Langkah 1.4.9.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 7 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

Langkah 1.4.9.2

Kalikan $- 7$ dengan $4$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

Langkah 1.4.9.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.9.3.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

Langkah 1.4.9.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

Langkah 1.4.9.3.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

Langkah 1.4.9.4

Kalikan $- 7$ dengan $- 5$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{4} + 35 x^{2} + 7 x^{2} + 7 \cdot - 7$

Langkah 1.4.9.5

Kalikan $7$ dengan $- 7$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{4} + 35 x^{2} + 7 x^{2} - 49$

Langkah 1.4.10

Tambahkan $35 x^{2}$ dan $7 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 28 x - 5 x^{4} + 42 x^{2} - 49$

Langkah 1.5

Evaluasi turunan pada $x = 3$ .

$4 {(3)}^{3} - 28 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 42 {(3)}^{2} - 49$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \cdot 27 - 28 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 42 {(3)}^{2} - 49$

Langkah 1.6.1.2

Kalikan $4$ dengan $27$ .

$108 - 28 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 42 {(3)}^{2} - 49$

Langkah 1.6.1.3

Kalikan $- 28$ dengan $3$ .

$108 - 84 - 5 {(3)}^{4} + 42 {(3)}^{2} - 49$

Langkah 1.6.1.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$108 - 84 - 5 \cdot 81 + 42 {(3)}^{2} - 49$

Langkah 1.6.1.5

Kalikan $- 5$ dengan $81$ .

$108 - 84 - 405 + 42 {(3)}^{2} - 49$

Langkah 1.6.1.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$108 - 84 - 405 + 42 \cdot 9 - 49$

Langkah 1.6.1.7

Kalikan $42$ dengan $9$ .

$108 - 84 - 405 + 378 - 49$

Langkah 1.6.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Kurangi $84$ dengan $108$ .

$24 - 405 + 378 - 49$

Langkah 1.6.2.2

Kurangi $405$ dengan $24$ .

$- 381 + 378 - 49$

Langkah 1.6.2.3

Tambahkan $- 381$ dan $378$ .

$- 3 - 49$

Langkah 1.6.2.4

Kurangi $49$ dengan $- 3$ .

$- 52$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 52$ dan titik yang diberikan $(3, - 8)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 8) = - 52 \cdot (x - (3))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 8 = - 52 \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 52 \cdot (x - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y + 8 = 0 + 0 - 52 \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y + 8 = - 52 \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y + 8 = - 52 x - 52 \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $- 52$ dengan $- 3$ .

$y + 8 = - 52 x + 156$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = - 52 x + 156 - 8$

Langkah 2.3.2.2

Kurangi $8$ dengan $156$ .

$y = - 52 x + 148$

Langkah 3