Kalkulus Contoh

$f (x) = (x^{3} + 4) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 5)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 5$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3} + 4$ dan $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 4 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 4) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Langkah 1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 4) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(x^{3} + 4) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$(x^{3} + 4) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Langkah 1.2.5

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Langkah 1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Langkah 1.2.7

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Langkah 1.2.8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Langkah 1.2.9

Tambahkan $6 x - 4$ dan $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Langkah 1.2.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 1.2.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 1.2.12

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Langkah 1.2.13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.13.1

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Langkah 1.2.13.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$(x^{3} + 4) (6 x) + (x^{3} + 4) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.4

Terapkan sifat distributif.

$x^{3} (6 x) + 4 (6 x) + (x^{3} + 4) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.5

Terapkan sifat distributif.

$x^{3} (6 x) + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1.1

Pindahkan $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.1.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.3

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$6 x^{4} + 24 x + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.4

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 \cdot x^{3} + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.5

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.6

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.7.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.8

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.9

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.9.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.9.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.9.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.9.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Langkah 1.3.6.10

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Langkah 1.3.6.11

Tambahkan $6 x^{4}$ dan $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Langkah 1.3.6.12

Kurangi $12 x^{3}$ dengan $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 24 x - 16 x^{3} - 16 + 6 x^{2}$

Langkah 1.3.7

Susun kembali suku-suku.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 24 x - 16$

Langkah 1.4

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Langkah 1.5.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Langkah 1.5.1.4

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Langkah 1.5.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 24 (1) - 16$

Langkah 1.5.1.6

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$15 - 16 + 6 + 24 (1) - 16$

Langkah 1.5.1.7

Kalikan $24$ dengan $1$ .

$15 - 16 + 6 + 24 - 16$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Kurangi $16$ dengan $15$ .

$- 1 + 6 + 24 - 16$

Langkah 1.5.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $6$ .

$5 + 24 - 16$

Langkah 1.5.2.3

Tambahkan $5$ dan $24$ .

$29 - 16$

Langkah 1.5.2.4

Kurangi $16$ dengan $29$ .

$13$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $13$ dan titik yang diberikan $(1, 5)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 13 \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 5 = 13 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $13 \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 5 = 0 + 0 + 13 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 5 = 13 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 5 = 13 x + 13 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $13$ dengan $- 1$ .

$y - 5 = 13 x - 13$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 13 x - 13 + 5$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $- 13$ dan $5$ .

$y = 13 x - 8$

Langkah 3