Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{4} \frac{5}{3 x + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 3 x + 1$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 3 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$u_{upper} = 12 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $12$ dan $1$ .

$u_{upper} = 13$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 13$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{5}{u}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u \cdot 3} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int_{1}^{13} \frac{5}{3 u} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{5}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{5}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{5}{3} \int_{1}^{13} \frac{1}{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{3} \ln (| u |)]_{1}^{13}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $13$ dan pada $1$ .

$\frac{5}{3} ((\ln (| 13 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{3} \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$

Langkah 5.2.2

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $\ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$ .

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})}{3}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $13$ adalah $13$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 1 |})}{3}$

Langkah 5.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{1})}{3}$

Langkah 5.3.3

Bagilah $13$ dengan $1$ .

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

Bentuk Desimal:

$4.27491559 \dots$