Kalkulus Contoh

$\int 12 {(y^{4} + 4 y^{2} + 1)}^{2} (y^{3} + 2 y) d y$

Langkah 1

Biarkan $u = y^{4} + 4 y^{2} + 1$ . Kemudian $d u = (4 y^{3} + 8 y) d y$ sehingga $\frac{1}{4} d u = (y^{3} + 2 y) d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = y^{4} + 4 y^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4} + 4 y^{2} + 1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 y^{3} + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [4 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $4 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$4 y^{3} + 4 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 y^{3} + 4 (2 y) + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$4 y^{3} + 8 y + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$4 y^{3} + 8 y + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $4 y^{3} + 8 y$ dan $0$ .

$4 y^{3} + 8 y$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int 3 u^{2} \frac{4}{4} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int 3 u^{2} \frac{4}{4} d u$

Langkah 2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int 3 u^{2} \cdot 1 d u$

Langkah 2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\int 3 u^{2} d u$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int u^{2} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Langkah 5.2

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ sebagai $1 u^{3} + C$ .

$1 u^{3} + C$

Langkah 5.3

Kalikan $u^{3}$ dengan $1$ .

$u^{3} + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ .

${(y^{4} + 4 y^{2} + 1)}^{3} + C$