Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

Langkah 1

Integral ini tidak dapat diselesaikan menggunakan substitusi-u. Mathway akan menggunakan metode lain.

Langkah 2

Integral dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

Langkah 3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ pada $\frac{3 π}{4}$ dan pada $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{4})$ adalah $\sqrt{2}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Langkah 3.2.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

Langkah 3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

Langkah 3.2.4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kotangen negatif di kuadran kedua.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Langkah 3.3.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Langkah 3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Langkah 3.3.5.2

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{4})$ adalah $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Langkah 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ mendekati $2.41421356$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Langkah 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ mendekati $0.41421356$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ dengan $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ dengan $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

Langkah 4.3

Perluas penyebut menggunakan metode FOIL.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

Langkah 4.4

Sederhanakan.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

Langkah 4.5

Bagilah $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ dengan $1$ .

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

Langkah 4.6

Tulis kembali $\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ sebagai $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

Langkah 4.7

Tambahkan $\ln (\sqrt{2} + 1)$ dan $\ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Bentuk Desimal:

$1.76274717 \dots$