Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 4 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 4 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 1.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - 0^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 4 - 0$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$u_{lower} = 4$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 4 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - 2^{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 4 - 1 \cdot 4$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Langkah 1.5.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{4}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{4}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 2.2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{4}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} \sqrt{u} d u)$

Langkah 5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{0}$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $0$ dan pada $4$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.3

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 7.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 7.4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Langkah 7.4.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 8 (\frac{2}{3}))$

Langkah 7.5.2

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Langkah 7.5.3

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 16}{3})$

Langkah 7.5.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{16}{3})$

Langkah 7.6

Kurangi $\frac{16}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{16}{3})$

Langkah 7.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{16}{3}$

Langkah 7.7.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{3}$

Langkah 7.7.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.7.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{16}{6}$

Langkah 7.7.5

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.5.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{2 (8)}{6}$

Langkah 7.7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.7.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.7.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{8}{3}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{8}{3}$

Bentuk Desimal:

$2.\overline{6}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$2 \frac{2}{3}$