Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3} - 6 x - 4}{x + 2} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x + 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{{(u - 2)}^{3} - 6 (u - 2) - 4}{u} d u$

Langkah 2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} + \frac{- 6 (u - 2)}{u} + \frac{- 4}{u} d u$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int \frac{- 6 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 4}{u} d u$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 4}{u} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 5

Gunakan Teorema Binomial.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 6.2

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 {(- 2)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 6.3

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 6.4

Pindahkan $u^{2}$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 6.5

Pindahkan $u$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 6.6

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 6.7

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} - 6 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 6.8

Kalikan $- 6$ dengan $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 6.9

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u + 4 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 6.10

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 7

Bagilah $u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8$ dengan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$u$

$0$

$u^{3}$

$6 u^{2}$

$12 u$

$8$

Langkah 7.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $u^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $u$ .

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$

Langkah 7.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			+	$u^{3}$	+	$0$

Langkah 7.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $u^{3} + 0$

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$

Langkah 7.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$

Langkah 7.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

Langkah 7.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 6 u^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $u$ .

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

Langkah 7.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					-	$6 u^{2}$	+	$0$

Langkah 7.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 6 u^{2} + 0$

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$

Langkah 7.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$

Langkah 7.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

Langkah 7.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $12 u$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $u$ .

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

Langkah 7.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							+	$12 u$	+	$0$

Langkah 7.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $12 u + 0$

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$

Langkah 7.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$
									-	$8$

Langkah 7.16

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int u^{2} - 6 u + 12 - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int u^{2} d u + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 10

Karena $- 6$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 6$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 \int u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 14

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - \int \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 15

Karena $8$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - (8 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 16

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 17

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 18

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - \int \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 19

Karena $6$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - (6 \int \frac{u - 2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 20

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 \int \frac{u - 2}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 21

Bagilah $u - 2$ dengan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$u$

$0$

$u$

$2$

Langkah 21.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $u$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$2$

Langkah 21.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			+	$u$	+	$0$

Langkah 21.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$

Langkah 21.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$
					-	$2$

Langkah 21.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 \int 1 - \frac{2}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 22

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (\int d u + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 23

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 24

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 25

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - (2 \int \frac{1}{u} d u)) + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 26

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 27

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{4}{u} d u$

Langkah 28

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{4}{u} d u$

Langkah 29

Karena $4$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - (4 \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 30

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 4 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 31

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 4 (\ln (| u |) + C)$

Langkah 32

Sederhanakan.

$\frac{u^{3}}{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 \ln (| u |) - 6 u + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

Langkah 33

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 \ln (| u |) - 6 u + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

Langkah 34

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1

Kurangi $6 u$ dengan $12 u$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u - 8 \ln (| u |) + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

Langkah 34.2

Tambahkan $- 8 \ln (| u |)$ dan $12 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + 4 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

Langkah 34.3

Kurangi $4 \ln (| u |)$ dengan $4 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + 0 + C$

Langkah 34.4

Tambahkan $\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u$ dan $0$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + C$

Langkah 35

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(x + 2)}^{3} - 3 {(x + 2)}^{2} + 6 (x + 2) + C$