Kalkulus Contoh

$\int \cos (\ln (x)) d x$

Langkah 1

Integral ini tidak dapat diselesaikan menggunakan substitusi-u. Mathway akan menggunakan metode lain.

Langkah 2

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

$\int e^{u} \cos (u) d u$

Langkah 3

Susun kembali $e^{u}$ dan $\cos (u)$ .

$\int \cos (u) e^{u} d u$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = \cos (u)$ dan $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Langkah 6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Langkah 6.2

Kalikan $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ dengan $1$ .

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Langkah 6.3

Susun kembali $e^{u}$ dan $\sin (u)$ .

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

Langkah 7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = \sin (u)$ dan $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Langkah 8

Ketika menyelesaikan $\int e^{u} \cos (u) d u$ , kami menemukan bahwa $\int e^{u} \cos (u) d u$ = $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ .

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

Langkah 9

Tulis kembali $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ sebagai $\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Langkah 11.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$