Kalkulus Contoh

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Langkah 1

Integral ini tidak dapat diselesaikan menggunakan substitusi-u. Mathway akan menggunakan metode lain.

Langkah 2

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Langkah 3

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

Langkah 5.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Evaluasi $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ pada $0$ dan pada $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 5.2.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan pecahan-pecahan menggunakan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6.1.2.2

Kurangi $\arctan (\frac{t}{4})$ dengan $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6.2

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6.3

Pindahkan suku $\frac{1}{4}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

Langkah 6.4

Limit pada tak hingga negatif dari polinomial pada derajat ganjil yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga negatif.

$- \frac{1}{4} - \infty$

Langkah 6.5

Substitusikan $t$ untuk $\frac{t}{4}$ dan biarkan $t$ mendekati $- \infty$ karena $lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

Langkah 6.6

Limit ketika $t$ mendekati $- \infty$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

Langkah 6.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Kalikan $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

Langkah 6.7.1.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 6.7.2

Kalikan $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Langkah 6.7.2.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{π}{8}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{8}$

Bentuk Desimal:

$0.39269908 \dots$