Kalkulus Contoh

\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Langkah 1

Integral ini tidak dapat diselesaikan menggunakan substitusi-u. Mathway akan menggunakan metode lain.

Langkah 2

Tulis integral sebagai limit ketika

$t$ mendekati

$- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Langkah 3

Tulis kembali

$16$ sebagai

$4^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 4

Integral dari

$\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan

$\frac{1}{4}$ dan

$\arctan (\frac{x}{4})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

Langkah 5.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Evaluasi

$\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ pada

$0$ dan pada

$t$ .

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari

$0$ dan

$4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan

$4$ dari

$0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Faktorkan

$4$ dari

$4$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 5.2.2.2.4

Bagilah

$0$ dengan

$1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan pecahan-pecahan menggunakan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Nilai eksak dari

$\arctan (0)$ adalah

$0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6.1.2.2

Kurangi

$\arctan (\frac{t}{4})$ dengan

$0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6.2

Pindahkan suku

$- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap

$t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Langkah 6.3

Pindahkan suku

$\frac{1}{4}$ ke luar limit karena konstan terhadap

$t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

Langkah 6.4

Limit pada tak hingga negatif dari polinomial pada derajat ganjil yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga negatif.

$- \frac{1}{4} - \infty$

Langkah 6.5

Substitusikan

$t$ untuk

$\frac{t}{4}$ dan biarkan

$t$ mendekati

$- \infty$ karena

$lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

Langkah 6.6

Limit ketika

$t$ mendekati

$- \infty$ adalah

$- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

Langkah 6.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Kalikan

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

Langkah 6.7.1.2

Kalikan

$\frac{1}{4}$ dengan

$1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 6.7.2

Kalikan

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.1

Kalikan

$\frac{1}{4}$ dengan

$\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Langkah 6.7.2.2

Kalikan

$4$ dengan

$2$ .

$\frac{π}{8}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{8}$

Bentuk Desimal:

$0.39269908 \dots$