Kalkulus Contoh

$\int_{\ln (2)}^{\ln (8)} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + e^{x}$ . Kemudian $d u = e^{x} d x$ sehingga $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + e^{x}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $e^{x}$ .

$e^{x}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{lower} = 1 + e^{\ln (2)}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$u_{lower} = 1 + 2$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{lower} = 3$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{upper} = 1 + e^{\ln (8)}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$u_{upper} = 1 + 8$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $8$ .

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

Langkah 2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

Langkah 3

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $9$ dan pada $3$ .

$(\ln (| 9 |)) - \ln (| 3 |)$

Langkah 4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $9$ adalah $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

Langkah 5.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

Langkah 5.3

Bagilah $9$ dengan $3$ .

$\ln (3)$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\ln (3)$

Bentuk Desimal:

$1.09861228 \dots$