Kalkulus Contoh

$\int (2 x + 1) \sqrt{x - 5} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x - 5$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x - 5$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int (2 (u + 5) + 1) \sqrt{u} d u$

Langkah 2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (2 (u + 5) + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Perluas $(2 (u + 5) + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\int (2 u + 2 \cdot 5 + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\int (2 u + 2 \cdot 5) u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\int 2 u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.4

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 2 u^{1 + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int 2 u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int 2 u^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.8

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.9

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 10 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.10

Kalikan $u^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 10 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.11

Tambahkan $10 u^{\frac{1}{2}}$ dan $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 11 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.12

Susun kembali $2 u^{\frac{3}{2}}$ dan $11 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 11 u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 11 u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5

Karena $11$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $11$ keluar dari integral.

$11 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

$11 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 9.2

Tulis kembali $11 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ sebagai $\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 9.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 5$ .

$\frac{22}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + C$