Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} x e^{- x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Langkah 1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Langkah 1.3.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 1^{2}}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

Langkah 1.5.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $- \frac{1}{2} u_{2}$ pada $\frac{1}{e}$ dan pada $1$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $\frac{1}{e}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 4.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 4.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.31606027 \dots$