Kalkulus Contoh

$4 \int \frac{1}{1 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Langkah 1.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Langkah 1.1.3

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Langkah 1.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.7.1.2

Bagilah $(A) (1 - x)$ dengan $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.7.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.7.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 1.1.7.5.2

Bagilah $(B) (1 + x)$ dengan $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Langkah 1.1.7.6

Terapkan sifat distributif.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Langkah 1.1.7.7

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Langkah 1.1.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.8.1

Pindahkan $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Langkah 1.1.8.2

Susun kembali $B$ dan $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Langkah 1.1.8.3

Pindahkan $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Langkah 1.1.8.4

Pindahkan $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Langkah 1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = - 1 A + B$

Langkah 1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A + B$

Langkah 1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Langkah 1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Selesaikan $A$ dalam $1 = A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Langkah 1.3.1.2

Kurangkan $B$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Langkah 1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1 - B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = - 1 A + B$ dengan $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Sederhanakan $- 1 (1 - B) + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.2.2.1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.2.2.1.1.3

Kalikan $- 1 (- B)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.2.2.1.1.3.2

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.2.2.1.2

Tambahkan $B$ dan $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.3

Selesaikan $B$ dalam $0 = - 1 + 2 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.3.3

Bagi setiap suku pada $2 B = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 B = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.3.3.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Langkah 1.3.4

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $A = 1 - B$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1

Sederhanakan $1 - (\frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.4.2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.4.2.1.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Langkah 1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Langkah 1.5.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Langkah 1.5.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{1 - x}$ .

$4 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$4 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = 1 + x$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{1} = 1 + x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Langkah 5

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Langkah 7

Biarkan $u_{2} = 1 - x$ . Kemudian $d u_{2} = - d x$ sehingga $- d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u_{2} = 1 - x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 7.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C)))$

Langkah 11

Sederhanakan.

$4 (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Langkah 12

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + x$ .

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Langkah 12.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 - x$ .

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Langkah 13.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Langkah 13.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Langkah 13.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Langkah 13.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$