Kalkulus Contoh

$y = - \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- \frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{5} x^{- 4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 4$ .

$- \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$4 (\frac{1}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.2.6

Pindahkan $x^{- 5}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.3.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.3.4

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 (- x^{- 2})$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x^{- 2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.5.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.5.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3 x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $\frac{6}{2}$ dan $x$ .

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.6.2.4

Bagilah $3 x$ dengan $1$ .

$3 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$3 x + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$3 x + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 3 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$3 x + 3 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 x + 3 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 x + 3 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$3 x + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.10

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $\frac{4}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{5 x^{5}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{5}}$ sebagai ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Langkah 2.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Langkah 2.4.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Langkah 2.4.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Langkah 2.4.5.2

Kalikan $5$ dengan $- 2$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Langkah 2.4.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Langkah 2.4.7

Kalikan $x^{- 10}$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.1

Pindahkan $x^{4}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Langkah 2.4.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Langkah 2.4.7.3

Kurangi $10$ dengan $4$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

Langkah 2.4.8

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{4}{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

Langkah 2.4.9

Kalikan $- 5$ dengan $4$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5} x^{- 6}$

Langkah 2.4.10

Gabungkan $\frac{- 20}{5}$ dan $x^{- 6}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20 x^{- 6}}{5}$

Langkah 2.4.11

Pindahkan $x^{- 6}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5 x^{6}}$

Langkah 2.4.12

Hapus faktor persekutuan dari $- 20$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.12.1

Faktorkan $5$ dari $- 20$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Langkah 2.4.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.12.2.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{6}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 (x^{6})}$

Langkah 2.4.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Langkah 2.4.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 4}{x^{6}}$

Langkah 2.4.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 x - 6 x^{- 3} - \frac{4}{x^{6}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x - 6 \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

Langkah 2.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$3 x + \frac{- 6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

Langkah 2.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = 3 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$