Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

Langkah 2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 4.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 4.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Langkah 4.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Langkah 4.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

Langkah 6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $x (- e^{- x})$ pada $\ln (2)$ dan pada $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Langkah 7.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $- \ln (2)$ dan pada $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Langkah 7.3.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Langkah 7.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Langkah 7.3.4

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Langkah 7.3.5

Tambahkan $\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ dan $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Langkah 7.3.6

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

Langkah 7.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Langkah 8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan $- \ln (2)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Langkah 8.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Langkah 8.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Langkah 8.4

Gabungkan $\ln (2)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Langkah 8.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Sederhanakan $- \ln (2)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

Langkah 8.5.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

Langkah 8.5.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Langkah 8.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 8.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Langkah 8.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 8.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Langkah 8.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

Langkah 8.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

Langkah 8.11

Kalikan $- - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Langkah 8.11.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.15342640 \dots$

Langkah 10