Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 1.3

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x}}$

Langkah 4

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}}$

Langkah 5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$5 \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 5.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 5.1.3

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$5 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 5.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$5 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 5.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 5.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{x}}$

Langkah 6

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}}$

Langkah 7

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$5 \cdot 4 \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 7.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 7.1.3

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 7.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 7.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 7.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 7.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 7.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x}}$

Langkah 8

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Langkah 9

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 9.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 9.1.3

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 9.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 9.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 9.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 9.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 9.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

Langkah 10

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Langkah 11

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 11.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 11.1.3

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 11.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 11.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 11.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Langkah 12

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{e^{x}}$ mendekati $0$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Langkah 13

Kalikan $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Langkah 13.2

Kalikan $20$ dengan $3$ .

$60 \cdot 2 \cdot 0$

Langkah 13.3

Kalikan $60$ dengan $2$ .

$120 \cdot 0$

Langkah 13.4

Kalikan $120$ dengan $0$ .

$0$