Kalkulus Contoh

$a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x = 12$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x) = \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [a x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a x^{5}$ terhadap $x$ adalah $a \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$a (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Langkah 2.2.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $a$ .

$5 a x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Langkah 2.3.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2} x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y^{2}$ dan $g (x) = x$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 2.4.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 2.4.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 2.4.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y y'))$

Langkah 2.4.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + x (2 y y'))$

Langkah 2.4.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + 2 x y y')$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - (2 x y y')$

Langkah 2.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Langkah 2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y'$

Langkah 3

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tambahkan $y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $5 x^{4} a$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a$

Langkah 5.1.3

Kurangkan $3 x^{2} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} y' - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Langkah 5.2

Faktorkan $x y'$ dari $x^{3} y' - 2 x y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $x^{3} y'$ .

$x y' x^{2} - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $- 2 x y y'$ .

$x y' x^{2} + x y' (- 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' x^{2} + x y' (- 2 y)$ .

$x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ dengan $x (x^{2} - 2 y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ dengan $x (x^{2} - 2 y)$ .

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $- 5 x^{4} a$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{(5) x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (x^{2} - 2 y)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{(x^{2} - 2 y) x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x^{2} - 2 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.3.5

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Pindahkan $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.3.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.3.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{1 + 3} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.3.5.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Langkah 5.3.3.6

Untuk menuliskan $- \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 5.3.3.7

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (x^{2} - 2 y)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.7.1

Kalikan $\frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{(x^{2} - 2 y) x}$

Langkah 5.3.3.7.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x^{2} - 2 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.9

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.9.1

Pindahkan $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 (x \cdot x) y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.9.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$