Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}$

Langkah 1

Tulis kembali $x^{3}$ sebagai ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = x^{3}$ . Kemudian $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = x^{3}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{u_{1} + 1}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Langkah 3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Langkah 5

Biarkan $u_{2} = u_{1} + 1$ . Kemudian $d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{2} = u_{1} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $u_{1} + 1$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Langkah 5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 8

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Langkah 8.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$