Kalkulus Contoh

$y = x y^{2} + 4 x - y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x - y)$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} + 4 x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - y'$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $y'$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' = y'$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $y'$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' - y' = 0$

Langkah 5.2.2

Kurangi $y'$ dengan $- y'$ .

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - 2 y' = 0$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y y' + 4 - 2 y' = - y^{2}$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y y' - 2 y' = - y^{2} - 4$

Langkah 5.4

Faktorkan $2 y'$ dari $2 x y y' - 2 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 x y y'$ .

$2 y' (x y) - 2 y' = - y^{2} - 4$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $2 y'$ dari $- 2 y'$ .

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1 = - y^{2} - 4$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ dengan $2 (x y - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ dengan $2 (x y - 1)$ .

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 2}{x y - 1}$

Langkah 5.5.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1}$

Langkah 5.5.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{2}{x y - 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 5.5.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $2 (x y - 1)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.3.1

Kalikan $\frac{2}{x y - 1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2}$

Langkah 5.5.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x y - 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3.5

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 4}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 4}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3.7

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (4)}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{2}) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.9.1

Tulis kembali $- (y^{2} + 4)$ sebagai $- 1 (y^{2} + 4)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Langkah 5.5.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$