Kalkulus Contoh

$y = \frac{e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = e^{- x}$ dan $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$\frac{(x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} \cdot - 1 - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $(x + 1) e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot ((x + 1) e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $- 1 (x + 1)$ sebagai $- (x + 1)$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(- x - 1 \cdot 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- x e^{- x} - 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$\frac{- x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Kurangi $e^{- x}$ dengan $- e^{- x}$ .

$\frac{- x e^{- x} - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- e^{- x} x - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.5

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- e^{- x} x$ .

$\frac{e^{- x} (- x) - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.5.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- 2 e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.5.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2$ .

$\frac{e^{- x} (- x - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{e^{- x} (- (x) - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.7

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x) - 1 (2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.9

Tulis kembali $- (x + 2)$ sebagai $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 4.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{- x} (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$