Kalkulus Contoh

$\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = 2 x^{2} + 3$ . Kemudian $d u = 4 x d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 2 x^{2} + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $2 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $4 x$ dan $0$ .

$4 x$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Langkah 5.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 7

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 7.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 7.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 7.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 7.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $2$ .

$\frac{2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 11

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$