Kalkulus Contoh

$\sqrt{x + 3 y} = 5 x$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 3 y}$ sebagai ${(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 x$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 3 y$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x + 3 y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 3 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 3 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.6.3

Pindahkan ${(x + 3 y)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 3.9

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.10

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 3 y')$

Langkah 3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 3 y')$ .

$(1 + 3 y') \frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.11.2

Kalikan $1 + 3 y'$ dengan $\frac{1}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Langkah 4.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} = 5$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan kedua ruas dengan $2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}) = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Sederhanakan $\frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{1 + 3 y'}{2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + 3 y'}{{(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + 3 y'}{{(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + 3 y' = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.4

Susun kembali $1$ dan $3 y'$ .

$3 y' + 1 = 5 (2 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$3 y' + 1 = 10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y' = 10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Langkah 6.3.2

Bagi setiap suku pada $3 y' = 10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Bagilah setiap suku di $3 y' = 10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 6.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 6.3.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{3}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 {(x + 3 y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{3}$