Kalkulus Contoh

$3 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 2 x y + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$6 x x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = y$ .

$6 x x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$6 x x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3.5

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$6 x x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x x' + 2 (x + y x') + 2 y$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$6 x x' + 2 x + 2 (y x') + 2 y$

Langkah 2.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$6 x x' + 2 x + 2 y x' + 2 y$

Langkah 2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$6 x x' + 2 y x' + 2 x + 2 y$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 x x' + 2 y x' + 2 x + 2 y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x x' + 2 y x' + 2 y = - 2 x$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x x' + 2 y x' = - 2 x - 2 y$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 x'$ dari $6 x x' + 2 y x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2 x'$ dari $6 x x'$ .

$2 x' (3 x) + 2 y x' = - 2 x - 2 y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $2 x'$ dari $2 y x'$ .

$2 x' (3 x) + 2 x' y = - 2 x - 2 y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $2 x'$ dari $2 x' (3 x) + 2 x' y$ .

$2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$ dengan $2 (3 x + y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$ dengan $2 (3 x + y)$ .

$\frac{2 x' (3 x + y)}{2 (3 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x' (3 x + y)}{2 (3 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x' (3 x + y)}{3 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (3 x + y)}{3 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{- x}{3 x + y} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{2 (- y)}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{2 (- y)}{2 (3 x + y)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{- y}{3 x + y}$

Langkah 5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} - \frac{y}{3 x + y}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{- x - y}{3 x + y}$

Langkah 5.3.3.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$x' = \frac{- (x) - y}{3 x + y}$

Langkah 5.3.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$x' = \frac{- (x) - (y)}{3 x + y}$

Langkah 5.3.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (y)$ .

$x' = \frac{- (x + y)}{3 x + y}$

Langkah 5.3.3.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.5.1

Tulis kembali $- (x + y)$ sebagai $- 1 (x + y)$ .

$x' = \frac{- 1 (x + y)}{3 x + y}$

Langkah 5.3.3.2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x + y}{3 x + y}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x + y}{3 x + y}$