Kalkulus Contoh

$x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$

Langkah 1

Selesaikan kuadrat dari $x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Langkah 1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{1}{2}$

Langkah 1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Langkah 1.4.2.2

Kurangi $\frac{1}{4}$ dengan $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Langkah 1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Langkah 2

Substitusikan ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ untuk $x^{2} + x$ dalam persamaan $x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} - 4 y = 60$

Langkah 3

Pindahkan $- \frac{1}{4}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $\frac{1}{4}$ ke kedua sisinya.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - 4 y = 60 + \frac{1}{4}$

Langkah 4

Selesaikan kuadrat dari $y^{2} - 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Langkah 4.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 4.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Langkah 4.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 2}{1}$

Langkah 4.3.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$d = - 2$

Langkah 4.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(- 4)}^{2}$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1.1.1

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 4.4.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 4.4.2.1.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 4.4.2.1.1.4

Kalikan $4^{2}$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 4.4.2.1.1.5

Faktorkan $4$ dari $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Langkah 4.4.2.1.1.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1.1.6.1

Faktorkan $4$ dari $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Langkah 4.4.2.1.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Langkah 4.4.2.1.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Langkah 4.4.2.1.1.6.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Langkah 4.4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = 0 - 4$

Langkah 4.4.2.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$e = - 4$

Langkah 4.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(y - 2)}^{2} - 4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4$

Langkah 5

Substitusikan ${(y - 2)}^{2} - 4$ untuk $y^{2} - 4 y$ dalam persamaan $x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 60 + \frac{1}{4}$

Langkah 6

Pindahkan $- 4$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $4$ ke kedua sisinya.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 60 + \frac{1}{4} + 4$

Langkah 7

Sederhanakan $60 + \frac{1}{4} + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Tulis $60$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60}{1} + \frac{1}{4} + 4$

Langkah 7.1.2

Kalikan $\frac{60}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 4$

Langkah 7.1.3

Kalikan $\frac{60}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 4$

Langkah 7.1.4

Tulis $4$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{1}$

Langkah 7.1.5

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 7.1.6

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4 + 1 + 4 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $60$ dengan $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{240 + 1 + 4 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{240 + 1 + 16}{4}$

Langkah 7.4

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Tambahkan $240$ dan $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{241 + 16}{4}$

Langkah 7.4.2

Tambahkan $241$ dan $16$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{257}{4}$

Langkah 8

Ini adalah bentuk lingkaran. Gunakan bentuk ini untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Langkah 9

Sesuaikan nilai-nilai dari lingkaran ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $r$ mewakili jari-jari lingkaran, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ adalah y-offset dari titik asal.

$r = \frac{\sqrt{257}}{2}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 2$

Langkah 10

Pusat lingkaran ditentukan pada $(h, k)$ .

Pusat: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Langkah 11

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis lingkaran.

Pusat: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Jari-jari lingkaran: $\frac{\sqrt{257}}{2}$

Langkah 12