Kalkulus Contoh

$y = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \cos (- \frac{x}{2})$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 (- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 (\sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Langkah 1.3.2

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (- \frac{x}{2}) (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (- \frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.3

Gabungkan $\frac{- 2}{2}$ dan $\sin (- \frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \sin (- \frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sin (- \frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \sin (- \frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.4.2.4

Bagilah $- \sin (- \frac{x}{2})$ dengan $1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2}) \cdot 1$

Langkah 1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $\sin (- \frac{x}{2})$ adalah sebuah fungsi ganjil, tulis kembali $\sin (- \frac{x}{2})$ sebagai $- \sin (\frac{x}{2})$ .

$- - \sin (\frac{x}{2})$

Langkah 1.4.2

Kalikan $- - \sin (\frac{x}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \sin (\frac{x}{2})$

Langkah 1.4.2.2

Kalikan $\sin (\frac{x}{2})$ dengan $1$ .

$\sin (\frac{x}{2})$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Langkah 2.2.4

Kalikan $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Langkah 4

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Langkah 6

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 7

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Langkah 8.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 (π - 0)$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = 2 π$

Langkah 9

Penyelesaian untuk persamaan $\frac{x}{2} = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{\cos (\frac{0}{2})}{2}$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\frac{\cos (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

Langkah 11.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Langkah 11.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Langkah 11.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\cos (\frac{0}{1})}{2}$

Langkah 11.1.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (0)}{2}$

Langkah 11.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 12

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - 2 \cos (- \frac{0}{2})$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$f (0) = - 2 \cos (- 0)$

Langkah 13.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Langkah 13.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Langkah 13.2.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (0) = - 2$

Langkah 13.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$y = - 2$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2 π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Langkah 15.1.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (π)}{2}$

Langkah 15.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{- \cos (0)}{2}$

Langkah 15.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Langkah 15.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Langkah 15.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2}$

Langkah 16

$x = 2 π$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 2 π$ adalah maksimum lokal

Langkah 17

Tentukan nilai y ketika $x = 2 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti variabel $x$ dengan $2 π$ pada pernyataan tersebut.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

Langkah 17.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

Langkah 17.2.1.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (- π)$

Langkah 17.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (2 π) = - 2 (- \cos (0))$

Langkah 17.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (2 π) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 17.2.4

Kalikan $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (2 π) = - 2 \cdot - 1$

Langkah 17.2.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f (2 π) = 2$

Langkah 17.2.5

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 18

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$ .

$(0, - 2)$ adalah minimum lokal

$(2 π, 2)$ adalah maksimum lokal

Langkah 19