Kalkulus Contoh

$y' = x + y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$\frac{d y}{d x} = x + y$

Langkah 2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - y = x$

Langkah 3

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d x}$

Langkah 3.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- x + C}$

Langkah 3.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x}$

Langkah 4

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x$

Langkah 4.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$

Langkah 4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x e^{- x}$

Langkah 5

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x e^{- x}$

Langkah 6

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x e^{- x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} d x$

Langkah 8

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Langkah 8.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Langkah 8.3.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Langkah 8.4

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 8.4.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 8.4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 8.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Langkah 8.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Langkah 8.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Langkah 8.7

Tulis kembali $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ sebagai $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{u} + C$

Langkah 8.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$

Langkah 9

Bagi setiap suku pada $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ dengan $e^{- x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ dengan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 9.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 9.3.1.1.2

Bagilah $- x$ dengan $1$ .

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 9.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 9.3.1.2.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$y = - x - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$