Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e} \frac{- 2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Langkah 1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{1}^{e} - \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{1}^{e} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- (2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x)$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 4.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 4.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x^{- 2}$ .

$- 2 (\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 6.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

Langkah 6.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

Langkah 6.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

Langkah 6.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

Langkah 6.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Langkah 8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Langkah 8.1.2

Kalikan $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ dengan $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Langkah 8.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Langkah 8.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Langkah 8.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e})$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ dan $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e})$

Langkah 10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Evaluasi $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ pada $e$ dan pada $1$ .

$- 2 ((- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1}))$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Bagilah $\ln (1)$ dengan $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1}))$

Langkah 10.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1))$

Langkah 10.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1))$

Langkah 10.2.2.4

Untuk menuliskan $- (- \ln (1) - 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e})$

Langkah 10.2.2.5

Gabungkan $- (- \ln (1) - 1)$ dan $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Langkah 10.2.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 2 (- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Langkah 10.2.2.7

Untuk menuliskan $- e^{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Langkah 10.2.2.8

Gabungkan $- e^{- 1}$ dan $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Langkah 10.2.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 2 \frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 10.2.2.10

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 \frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 10.2.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 \frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 10.2.2.12

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$- 2 \frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 10.2.2.13

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- 2 \frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 10.2.2.14

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 \frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 10.2.2.15

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$ .

$\frac{- 2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Langkah 10.2.2.16

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Langkah 11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 \cdot 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Langkah 11.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Langkah 11.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- 0 - 1) e)}{e}$

Langkah 11.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (0 - 1) e)}{e}$

Langkah 11.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - - 1 e)}{e}$

Langkah 11.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + 1 e)}{e}$

Langkah 11.6

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + e)}{e}$

Langkah 11.7

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

Bentuk Desimal:

$- 0.52848223 \dots$