Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Langkah 1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Langkah 2

Biarkan $u = \csc (x)$ . Kemudian $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ sehingga $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = \csc (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Langkah 2.1.3

Susun kembali faktor-faktor dari $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

Langkah 2.3

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{4})$ adalah $\sqrt{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Langkah 2.5

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

Langkah 3

Tulis kembali $- 1 u$ sebagai $- u$ .

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

Langkah 5

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\frac{u^{2}}{2}$ pada $1$ dan pada $\sqrt{2}$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.2

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Langkah 8.2.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Langkah 8.2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Langkah 8.2.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

Langkah 8.2.2.5

Evaluasi eksponennya.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Langkah 8.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Langkah 8.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Langkah 8.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

Langkah 8.2.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 8.2.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Langkah 8.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 8.2.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$3 \frac{1 - 2}{2}$

Langkah 8.2.8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$3 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 8.2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$3 (- \frac{1}{2})$

Langkah 8.2.10

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Langkah 8.2.11

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Langkah 8.2.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{3}{2}$

Bentuk Desimal:

$- 1.5$

Bentuk Bilangan Campuran:

$- 1 \frac{1}{2}$