Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Langkah 1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menuliskan $x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Langkah 1.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Langkah 1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} (\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ dengan $\frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{(\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 2.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.2.2

Evaluasi limit dari $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.2.3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.2.3.2

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$2 \frac{\frac{π}{3} - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.2.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$2 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.2.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{\frac{π - π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.2.4.3

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$2 \frac{\frac{0}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.2.4.4

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.3.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.3.1.3

Evaluasi limit dari $\sqrt{3}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{0}{\sqrt{3} - \sqrt{3}}$

Langkah 3.1.3.3.2

Kurangi $\sqrt{3}$ dengan $\sqrt{3}$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}} = lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.2

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\arcsin (x) - \frac{π}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.4

Turunan dari $\arcsin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.5

Karena $- \frac{π}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{π}{3}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.6

Tambahkan $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ dan $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \cdot 2 - \sqrt{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.8.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.8.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.8.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Langkah 3.3.9

Karena $- \sqrt{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sqrt{3}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + 0}$

Langkah 3.3.10

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2}$

Langkah 3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.5

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 2}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Langkah 4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Langkah 4.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Langkah 4.4

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - x^{2}}}$

Langkah 4.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

Langkah 4.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

Langkah 4.7

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x)}^{2}}}$

Langkah 5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Langkah 6.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}}$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}}$

Langkah 6.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}}$

Langkah 6.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

Langkah 6.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

Langkah 6.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{2^{2}}}}$

Langkah 6.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{2^{2}}}}$

Langkah 6.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}}$

Langkah 6.3.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}$

Langkah 6.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 3}{4}}}$

Langkah 6.3.6

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$

Langkah 6.3.7

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}$

Langkah 6.3.8

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{4}}}$

Langkah 6.3.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.9.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

Langkah 6.3.9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$1 \cdot 2$

Langkah 6.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$