Kalkulus Contoh

$x \cdot \sin (2 x)$

Langkah 1

Tulis $x \cdot \sin (2 x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x \cdot \sin (2 x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x \cdot \sin (2 x) d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 6

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 7.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Langkah 8

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 9

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Langkah 11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Langkah 12

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Langkah 13.2.2

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 15

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x \cdot \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$